CAS ja koulumatematiikka

Minulta kysyttiin näkemystäni CAS-järjestelmien käytöstä koulumatematiikassa, lähinnä lukiossa. CAS on lyhenne sanoista Computer Algebra System. Usein puhutaan myös symbolisista laskentaohjelmista, so. ohjelmista, joilla voidaan sieventää lausekkeita, derivoida, integroida, ratkaista yhtälöitä, piirtää graafisia esityksiä jne.

Olen aiemmissa blogikirjoituksissani käsitellyt aihetta useaankin otteeseen, mutta kun tulin asiaa jälleen kerran ja hieman laajemmin miettineeksi, suotakoon yksi kerta lisää.

Yksinkertainen vastaus on, että tietenkin CAS-järjestelmiä pitäisi käyttää lukiossa, koska jokaisella aikakaudella on laskentavälineensä, joita jo koulussa on opittava käyttämään. Tietotekniikkaan perustuva välineistö on epäilemättä meidän aikaamme kuuluvaa.

Aivan näin yksikertainen asia ei kuitenkaan ole, vaan ensin on syytä pohtia, mitä tällaisella ohjelmalla tai laskimella pitäisi tai voitaisiin koulussa tehdä. Jos käyttö jää irrallisiin asioihin, kuten tyyppiä $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ oleviin sievennyksiin, ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen, yksinkertaiseen derivointiin ja integrointiin sekä muuhun vastaavaan, on hyvin kyseenalaista, tuoko CAS-systeemin käyttö lisäarvoa. Haittaa voi syntyä: opiskelija ei enää jäsennä asioita itselleen, vaan hahmottaa matematiikan laskimen käytöksi. Samasta asiasta on aiheellisesti kritisoitu tavallisten numeeristen laskimien käyttöä.

Jos sen sijaan samalla muutetaan näkökulmaa ja aletaan käsitellä laajempia tehtäviä ja todellisempia ongelmia, opiskelu painottuu kokonaisuuksien hallitsemiseen ja mekaaniset osatehtävät jäävät CAS-laskimen hoidettaviksi. Tällöin keskitytään tarkastelemaan koko metsää laskimen hoitaessa yksittäiset puut ja risut. Samanlainen näkökulman muutos olisi oikeastaan tarvittu jo otettaessa numeeriset ja graafiset laskimet käyttöön. Näin ei kuitenkaan ole tapahtunut, valitettavasti.

Konkretisoiden: Oleellinen asia on erilaisten välitulosten tallettaminen muistiin ja näiden hyödyntäminen laskun myöhemmässä vaiheessa. CAS-systeemissä muistin käyttö on numeerisia laskimia helpompaa: välituloksille annetaan kuvaava nimi, eikä niihin viitata vain muistirekisterin numerolla. Laskijankin on helpompi muistaa, minne hän on minkäkin asian tallettanut. Tämä johtaa myös vähitellen ohjelmoinnille ominaiseen ajatteluun.

Selvää on, että CAS-laskimien tai -ohjelmien käyttöönottoon liittyy melkoinen joukko ongelmia: hankintakustannukset, opettajien koulutus, opetussuunnitelmien uudistaminen jne. Ongelma on myös valitun laitteen tai ratkaisun lyhyt elinkaari: samalla kun jokin laitetyyppi tai ohjelmisto valitaan, on myös suunniteltava, miten siitä päästään eroon sen vanhennuttua tai paremman ilmestyttyä saataville.

Ongelmat ovat sen verran suuria, että CAS-tielle ei ehkä kannata lainkaan lähteä, jos ei olla valmiita käyttämään sen tarjoamia mahdollisuuksia todella hyväksi.

Voisi myös ajatella, että tieto- ja laskentatekniikan käytön yleistymiseen varauduttaisiin vain korostamalla matematiikan rakenteellisia ominaisuuksia, mutta jätettäisiin CAS-järjestelmien tai symbolisten ohjelmien käyttö vähemmälle tai kokonaan pois. Tämä olisi sikäli perusteltua, että rakenteet ovat huomattavasti stabiilimpia kuin ohjelmat, jotka tulevat ja menevät. Ongelmana tällöin kuitenkin on, että opiskelijalle jää vieraaksi, minkä takia rakenteelliset ominaisuudet ovat tärkeitä. Konkreettiset laskentatilanteet vasta näyttävät teorian merkityksen.

Usein pelätään, että liiallinen välineiden käyttö johtaa siihen, että asioita ei enää viitsitä opetella. En olisi tästä huolissani, mikäli opetuksen näkökulmaa samalla vaihdetaan. Varmasti käy niin, että kaikkea aiemmin opittua ei enää opita, mutta ei ole tarpeenkaan. Sen sijaan opitaan jotakin sellaista, mikä on hyödyllisempää muuttuvassa maailmassa.

Vaarana välineiden käytössä saattaa olla, että matematiikan opetus painottuu liiaksi tietyn laitteen tai ohjelmiston ominaisuuksien opetteluun ja varsinainen asia, itse matematiikka jää sivuasiaksi. Tästä on syytä tuntea huolta.

Mitä olisi johtopäätös kaikesta edellä sanotusta? Itse olisin valmis näyttämään CAS-järjestelmien käytölle vihreää valoa, mutta samalla painamaan jarrua. Lähdettäköön CAS-tielle, mutta järkevästi ja miettien, millaisia muutoksia se tuo tai sen tulisi tuoda tullessaan. Uuden asian tuominen opetussuunnitelmaan edellyttää myös tilan raivaamista sille.

Lopuksi viite, josta ainakin voi aloittaa asiaan perehtymisen: The Case for CAS. Huomattakoon kuitenkin, että tämä on raportti, joka ei ole aivan pyyteetön. Taustalla on ohjelmistotoimittaja, jolle valtakunnallinen päätös käyttöön otettavasta ohjelmistosta on varsin merkityksellinen.