Kaikki naiset ovat vaaleatukkaisia

Matemaattiset todistukset on tapana esittää loppuun asti kiillotetussa elegantissa muodossa. Julkaisu- tai raporttitekstissä tämä on perusteltuakin: turhat pois, lyhyt ja selkeä on parempi kuin pitkä ja rönsyilevä. Opiskelijalle tilanne on toisenlainen. Kiillotettu esitys johtaa mielikuvaan, että sellainen pitäisi itsekin saada syntymään heti. Niukka esitys on ehkä ymmärrettävissä lokaalisti, vaihe vaiheelta, mutta mitään mielikuvaa ei synny siitä, miksi juuri tällainen tie on valittu.

Opiskelussa harharetket, vajavaisten päättelyiden virheiden tai puutteiden etsiminen ja suurten linjojen näkeminen usein opettavat eniten. Detaljitkin on helpompaa panna paikoilleen, kun kokonaiskuva on tiedossa ja ymmärtää, miksi jokin toinen lähestymistapa ei toimi. Silti ei pidä tietenkään opettaa vain harharetkiä, etsiä virheitä tai tyytyä pääpiirteisiin. Opettaminen on oma taiteenlajinsa.

Esitän seuraavassa induktiotodistuksen, jonka nyt jo edesmennyt professori Raimo Lehti tarjoili sille Helsingin yliopiston luentoryhmälle, johon minäkin aikoinaan kuuluin. Todistuksessa on luonnollisesti jotakin vikaa. Sen löytäminen jää lukijalle.

Todistettavana on seuraava lause: Kaikilla luonnollisilla luvuilla $n$ pätee: Jos $n$ naisen muodostamassa joukossa on yksi vaaleatukkainen, niin kaikki tämän joukon naiset ovat vaaleatukkaisia.

Seurauksena saadaan helposti, että kaikki naiset ovat vaaleatukkaisia: Maailmassa on jokaisella ajanhetkellä jokin äärellinen määrä naisia ja yksi vaaleatukkainen varmasti löytyy.

Todistus perustuu induktioon. Arvolla $n = 1$ väite selvästikin pitää paikkansa: Jos yhden naisen muodostamassa joukossa on yksi vaaleatukkainen, niin kaikki tässä joukossa olevat, ts. se ainoa, ovat vaaleatukkaisia.

Induktioaskelessa oletetaan, että väite pätee arvolla $n$, ja pyritään todistamaan se arvolla $n+1$.

Tarkasteltavana on siis $n+1$ naisen muodostama joukko, jossa on yksi vaaleatukkainen. Poistetaan joukosta yksi nainen, joku muu kuin vaaleatukkaiseksi tiedetty. Tällöin kyseessä on $n$ naisen joukko, jossa on yksi vaaleatukkainen. Induktio-oletuksen mukaan kaikki tässä joukossa olevat ovat silloin vaaleatukkaisia. Ulkopuolella olevasta ei vielä tiedetä.

Palautetaan ulkopuolella oleva joukkoon ja poistetaan sieltä samalla joku, joka siis jo tiedetään vaaleatukkaiseksi. Nyt joukossa on jälleen $n$ naista ja peräti $n-1$ tiedetään vaaleatukkaisiksi. Koska yksikin riittäisi, kaikki ovat induktio-oletuksen mukaan vaaleatukkaisia.

Kaikki $n+1$ naista on siten todettu vaaleatukkaisiksi, Q.E.D.

lyhyt otsikko kommentille

Kun ei muita kommentteja näy ilmaantuvan, niin pari ajatusta/muisteloa:

Minäkin muistan omalta opiskeluajaltani tuon, varmaankin sen esitti silloin prof. Lauri Myrberg. En ollenkaan muistanut yksityiskohtia, sinun teksissäsi se onkin hyvin esitetty.

Ongelma paistaa tuosta (n-1):stä.

Tämä on siitä harvinainen induktiotodistusesimerkki, että induktioaskeleessa voi olla erikoistapaus "yleisellä n:llä".

Mainittakoon, että henkilökohtainen induktioaskeleeni johti siihen, että minun yksikäsitteinen naiseni on vaalea!