Epäeuklidista geometriaa

Lupauduin ohjaamaan paria lukiolaista, jotka haluavat tehdä tutkielman epäeuklidisesta geometriasta. Palauttaakseni asioita mieleeni ja katsoakseni, millaisia lähteitä on tarjolla, hain muutaman kirjan vanhan työpaikkani entisen Teknillisen korkeakoulun kirjastosta ja katsoin, mitä netistä löytyy.

Kirjat olivat sellaisia, joista itse aikoinaan olen epäeuklidiseen geometriaan perehtynyt, eikä tuohon aikaan juuri muuta mahdollisuutta ollutkaan. Netistä sen sijaan näyttää löytyvän viitteitä siinä määrin, että ei todellakaan ole helppoa valita, mihin kannattaisi perehtyä. On tarjolla artikkeleita ja luentomateriaaleja, kirjoja voi tilata, ohjelmistojakin löytyy, joko kaupallisia tai ilmaisia. Hakusanaksi 'non-euclidean', mutta jos kielitaito riittää, kannattaa myös kokeilla 'nicht-euklidisch' tai 'non-euclidien' tai miksei myös 'неевклидов'. Suomeksi löytyy aika vähän.

Kiintoisa löytö oli Joel Castellanosin sivusto, jolla on saatavissa tekstidokumenttien ohella Java-pohjainen NonEuclid-ohjelma. Tällä voidaan piirtää hyperbolisen epäeuklidisen geometrian kuvioita Poincarén ympyrämallin tai puolitasomallin mukaisesti. Ohjelma toimii samaan tapaan kuin monet muut dynaamisen geometrian ohjelmat, esimerkiksi GeoGebra: konstruktion lähtökohtina olevia objekteja voidaan siirrellä hiirellä, jolloin kuvio muuttuu vastaavasti.

Poincarén ympyrämallissa koko geometria sijaitsee kiinteän ympyrän, reunaympyrän sisäpuolella. Geometrian pisteet ovat reunaympyrän sisäpisteitä, suorat ovat ympyränkaaria, jotka kohtaavat reunaympyrän kohtisuorasti. Tällöin suoran — siis ympyränkaaren — ulkopuolella olevan pisteen kautta voidaan piirtää useita suoria, jotka eivät kohtaa tätä, ts. ovat sen suuntaisia. Paralleeliaksiooma ei siis päde.

NonEuclid antaa mahdollisuuden kokeellisesti tutkia, mitkä euklidisen geometrian teoreemat ovat voimassa hyperbolisessa epäeuklidisessa geometriassa. Alla on esimerkkinä Pappoksen lause: Pisteet A, B ja C ovat samalla suoralla, samoin pisteet D, E ja F (mustat suorat). Nämä on yhdistetty ristiin punaisilla, vihreillä ja sinisillä suorapareilla. Pappoksen lauseen mukaan suoraparien leikkauspisteet G, H ja I ovat samalla suoralla (keltainen) alkuperäisten pisteiden paikoista riippumatta. Lause pätee euklidisessa geometriassa (ainakin melkein) ja näyttäisi olevan voimassa myös hyperbolisessa epäeuklidisessa geometriassa.

Tämän jälkeen ongelmana on lauseen todistaminen, mikä onkin toinen tarina. Edellä oleva varaus lauseen pätevyyteen viittaa siihen, että kaikkia leikkauspisteitä G, H ja I ei välttämättä aina ole olemassa sen enempää euklidisessa kuin epäeuklidisessakaan tapauksessa. Euklidisessa tapauksessa ongelma voidaan poistaa, epäeuklidisesta en ainakaan suoralta kädeltä osaa sanoa.

Yllä oleva kuvio on staattinen NonEuclid-ohjelmalla tehty kuvio. Pisteiden siirtely ei tässä ole mahdollista, mutta kokeilemaan pääsee lataamalla NonEuclidin ja avaamalla Pappos-konfiguraation määrittelytiedoston.

sovelluksia

Hyperbolinen geometria on myös tällä hetkellä todella aktiivinen tutkimusaihe, jolla on paljon sovelluksia monissa matematiikan teorioissa. Esimerkiksi Kleinin ryhmien teoria ja moderni kompleksianalyysi käyttävät paljon hyväkseen menetelmiä, jotka perustuvat hyperboliseen geometriaan.

Tärkeä syy tähän on, että euklidisen geometrian säilyttävät yhdenmuotoisuuskuvaukset ovat aika "tylsiä", mutta hyperbolisen geometrian tapauksessa saadaan paljon mielenkiintoisempi kuvausluokka, nk. Möbius-kuvaukset. Tämä on ehdottomasti aihe johon kannattaa tutustua, jos on kiinnostunut tekemään tutkimusta tai opinnäytteitä funktioteorian, differentiaaligeometrian, tms. alueilta.

On myös mielenkiintoista, että hyperbolisen geometrian tapauksessa saadaan vastine useimmille koulugeometrian tuloksille, kuten Pythagoraan lauseelle. Tulokset kuitenkin muuttavat jossain määrin muotoaan, esim. hyperbolisen kolmion kulmien summa aina $\le \pi$ ja yhtäsuuruus pätee oikeastaan vain raja-arvona.