72-sääntö

Toimittaja Teija Sutinen kirjoittaa Helsingin Sanomissa 10.12.2009 '72-säännöstä', jonka mukaan sijoituksen kaksinkertaistumiseen kuluva aika vuosissa saadaan jakamalla luku 72 tuottoprosentilla. Tämän jälkeen hän muistelee matematiikan tuntejaan, joilla ei koskaan esitetty mitään näin hyödyllistä.

Sääntö on hyvä. Korkoa korolle -periaatteen mukainen kaksinkertaistumisaika saadaan tarkkaan ottaen lausekkeesta $\frac{\ln 2}{\ln(1 + p/100)}$, missä $p$ on tuottoprosentti. Lauseke $72/p$ on varsin tarkka approksimaatio tälle. Täsmälleen samaan tulokseen päästään hieman alle kahdeksan prosentin korolla, muualla syntyy vähäisiä eroja, kuten liitteenä olevasta taulukosta ilmenee. Nykyisillä koroilla '71-sääntö' voisikin olla hieman tarkempi, mutta ero on merkityksetön.

Pitäisikö tällaisia sääntöjä sitten opettaa koulussa? Ongelmana on, että pelkkä säännön opettelu ei millään tavoin selitä, miksi juuri 72 (tai 71) on sopiva luku. Pelkkä säännön opettelu vastaisi täysin tilannetta, missä historiaan sen ihmeemmin perehtymättä opetellaan, että Westfalenin rauha tehtiin vuonna 1648. Matematiikan opiskelussa tavoitteena toki on hieman syvällisempi tieto, joka on käyttökelpoista muissakin samantyyppisissä tilanteissa.

Kyseessä on annetun funktion approksimointi toisella, mutta yksinkertaisemmalla funktiolla. Täysin tyhjentävään käsittelyyn eivät koulukurssin eväät oikein riitä, mutta jonkinlainen analyysi kyllä on mahdollinen koulutiedoillakin. Vaikkapa lyhyen kurssin ylioppilastehtävänäkin voisi olla tarkan (logaritmeja sisältävän) lausekkeen ja muotoa $a/p$ olevan approksimaation vertaileminen vakion $a$ eri arvoilla ja mahdollisimman tai ainakin melko hyvän arvon etsiminen.

Tällöin ylioppilaskokelaalta ei kylläkään voida vaatia täysin eksaktia esitystä, vaan joudutaan arvioimaan graafisten esitysten ja irrallisten laskujen järkevyyttä. Kokelaalle tulee lisävaatimuksia: ei riitä, että jotakin on laskettu, vaan tulee myös pystyä etenemään jollakin tavoin johdonmukaisesti ja dokumentoimaan ajattelunsa.

Ehkäpä ylioppilastutkintolautakunnan kannattaisi kokeilla.