Neliöjuuret — osoittajaan vai nimittäjään?

Juha Oikkonen kirjoitti Matemaattisten aineiden opettajien liiton Dimensio-lehden numerossa 2/2012 neliöjuurista murtolausekkeen osoittajassa ja nimittäjässä. Aikoinaan koulussa opetettiin, että juuret tulee laventaa osoittajaan, jolloin esimerkiksi $\sqrt{2}/2$ on parempi kuin $1/\sqrt{2}$. Syykin oli selvä: likiarvon laskeminen jakokulmassa jakamalla on edellisessä tapauksessa oleellisesti helpompaa kuin jälkimmäisessä.

Peruste menetti kuitenkin pätevyytensä 70-luvulla elektronisten laskimien tullessa markkinoille eikä Ylioppilastutkintolautakuntakaan enää välitä asiasta. Juha kysyy, olisiko asiassa kuitenkin vielä muutakin. Onhan siinä, monessakin suhteessa. Juha esittää yhden näkökulman, laskemisesta kiinnostuneena henkilönä esitän seuraavassa toisen.

Luvulle $\pi$ voidaan laskea numeerinen arvo sijoittamalla yksikköympyrän sisään säännöllisiä monikulmioita, joiden kärkien lukumäärä kasvaa rajatta. Monikulmion piirin puolikas lähestyy tällöin lukua $\pi$.

Jos aloitetaan kuusikulmiosta, jonka sivun pituus on $s_0 = 1$, ja tämän jälkeen aina kaksinkertaistetaan monikulmion kärkien lukumäärä, saadaan monikulmiojono, joissa kärkien lukumäärät ovat 12, 24, 48, 96 jne. Jos $k$:nnen monikulmion sivun pituus on $s_k$, pätee seuraavan monikulmion sivun pituudelle $s_{k+1}$ rekursiokaava \[ s_{k+1}^2 = 2 - \sqrt{4 - s_k^2}, \] kuten Pythagoraan lausetta käyttäen voidaan osoittaa (kuvio). Rekursion avulla voidaan laskea sivujen pituudet toinen toisensa jälkeen niin pitkälle kuin halutaan. Sivujen pituudet lähestyvät nollaa, mutta samalla niiden lukumäärä kasvaa. Jos sivun pituus kerrotaan sivujen lukumäärällä, saadaan jokaisesta monikulmiosta approksimaatio ympyrän kehän pituudelle $2\pi$ ja siis kahdella jakamalla luvulle $\pi$.

Rekursiokaava voidaan kirjoittaa toiseenkin muotoon kirjoittamalla oikealle puolelle nimittäjäksi $1$ ja laventamalla lausekkeella $2 + \sqrt{4 - s_k^2}$. Tällöin neliöjuuri siirtyy nimittäjän puolelle: \[ s_{k+1}^2 = \frac{s_k^2}{2 + \sqrt{4 - s_k^2}}. \] Onko eroa riippuen siitä, kumpaa rekursiokaavan muotoa käytetään?

Seuraavat approksimaatiot on laskettu Matlab-ohjelmalla, joka käyttää numeerisissa laskuissa kiinteätä numeromäärää. Kymmenjärjestelmässä ilmaistuna tämä vastaa noin 16 numeron tarkkuutta. Taulukon vasemmanpuoleinen sarake on laskettu alkuperäisellä rekursiokaavalla. Oikeanpuoleinen sarake syntyy rekursiokaavan jälkimmäisestä muodosta, jossa neliöjuuri on nimittäjässä.

   3.00000000000000   3.00000000000000
   3.10582854123025   3.10582854123025
   3.13262861328124   3.13262861328124
   3.13935020304687   3.13935020304687
   3.14103195089053   3.14103195089051
   3.14145247228534   3.14145247228546
   3.14155760791162   3.14155760791186
   3.14158389214894   3.14158389214832
   3.14159046323676   3.14159046322805
   3.14159210604305   3.14159210599927
   3.14159251658815   3.14159251669216
   3.14159261864079   3.14159261936538
   3.14159264532122   3.14159264503369
   3.14159264532122   3.14159265145077
   3.14159264532122   3.14159265305504
   3.14159264532122   3.14159265345610
   3.14159366984943   3.14159265355637
   3.14159230381174   3.14159265358144
   3.14160869622480   3.14159265358770
   3.14158683965504   3.14159265358927
   3.14167426502176   3.14159265358966
   3.14167426502176   3.14159265358976
   3.14307274017004   3.14159265358979
   3.13747509950278   3.14159265358979
   3.18198051533946   3.14159265358979

Oikeanpuoleisen sarakkeen alimmissa luvuissa kaikki numerot ovat oikeita $\pi$:n desimaaleja. Vasemmanpuoleisessa sarakkeessa likiarvot alkavat huonontua 15. rivistä lähtien. Miksi käy näin? Miksi tulos on parempi, jos juuri on nimittäjässä?

Syynä on lausekkeessa $2 - \sqrt{4 - s_k^2}$ oleva erotus, joka aiheuttaa merkitsevien numeroiden katoamisen. Kun $s_k$ on pieni, kyseessä on kahden melkein yhtä suuren luvun erotus. Jos kumpikin on annettu tietyllä desimaalimäärällä, erotus saadaan lasketuksi huomattavasti pienemmällä desimaalimäärällä, ja tarkkuus katoaa. Jos esimerkiksi lasketaan viidellä numerolla annettujen lukujen 2.0000 ja 1.9997 erotus, tämä saadaan vain yhden numeron tarkkuudella: 0.0003. Vastaavaa ilmiötä ei esiinny, jos juuri on nimittäjässä: erotuksen sijasta kyseessä on kahden melkein yhtä suuren luvun summa.

Mitä tästä sitten pitäisi oppia? Ei ehkä kannata sokeasti soveltaa jotakin ohjetta ymmärtämättä sen perusteita, vaan miettiä, mikä kyseessä olevassa tapauksessa olisi parasta.

AOJ edelleen

Laajan matematiikan ykköskurssin opiskelija näytti minulle kerran tekemäänsä harjoitustehtävän ratkaisua ja kysyi: "Saako tämän laskea näin?". Vilkaisin ratkaisua ja sanoin: "Se on ihan oikein." Hän uudisti kysymyksensä: "Niin, mutta saako tämän ratkaista näin?". Oikeassahan hän oli: minä en vastannut kysymykseen.

Silti olen sitä mieltä, että kaikki oikeat ratkaisut eivät ole samanarvoisia: lyhyt ja selkeä on parempi kuin pitkä ja mutkikas.

AOJ

Heikki, tarkoitan tällä pikemminkin tietynlaista asennetta opetukseen (tai muuhunkun inhimilliseen toimintaan). Rousseaun hengessä voidaan ajatella asioiden lähtevän liikkeelle jonkinlaisesta alkutilasta, joissa inhimillinen toiminta tähtää johonkin selkeään tavoitteeseen, vaikkapa matemaattisen ongelman ratkaisemiseen. Tämän tavoitteen saavuttamiseksi sitten vakiintuu jokin menettely, joka saattaa olla erittäin hyvä menettely kyseisen ongelman ratkaisemiseksi. Ajan myötä menetelmä edelleen muotoillaan kokoelmaksi erilaisia peukalosääntöjä, jotka helpottavat sen soveltamista ja muistamista. Jossakin vaiheessa sitten todetaan, että oikeastaan itse menetelmän tarkoitus ja perustelut ovat liian kunnianhimoinen tavoite opetettavaksi ja siirrytään opettamaan vain peukalosääntöjä ja oikean menettelyn ulkoista muotoa. Tätä kutsun Asioiden Oikeaksi Järjestykseksi. Se ei enää ole yhteydessä alkuperäisen menettelyn tavoitteisiin eikä sitä perustella millään muulla tavalla kuin sillä, että aina on tehty näin. Esimerkkejä näin opetettavista säännöistä on lukuisia, Simon mainitsema absurdi neliöjuuren laventamissääntö on silmiinpistävimpiä, mutta myös mm. yhtälön ratkaisemiseen liittyviä temppuja kuten ristiin kertomista, yhtälön jäsenten "siirtämistä" puolelta toiselle, yms. opetetaan usein näin. Syy ei ole siinä, että asiaa olisi pakko opettaa tällä tavalla, vaan sellaisessa asenteessa, että opiskelijoille riittää opettajan ratkaisumentelmän mekaaninen toistaminen. Ei tarvitse ymmärtää mitä on tekemässä tai miksi.

Uskon, että tällainen matematiikan opettelu dogmaattisesti seurattavana temppuoppina on tärkein syy siihen, miksi vielä yliopistotasolla on opiskelijoita, jotka kylläkin osaavat ratkaista kaikki koulumatematiikassa esiintyvät yhtälötyypit soveltamalla oikeaa kaavaa/temppua mutta eivät esim. tiedä seuraako siitä, että $x=y$ vaikkapa $\sin(x)=\sin(y)$ vai ei. Opiskelijoita myös kannustetaan tekemään mallista itsenäisen ajattelemisen sijaan, ja muodoltaan epästandardi ratkaisu luokitellaan usen vääräksi kertomatta mikä on pielessä. Tämä turhauttaa kriittisiä ja luovia oppilaita. Useimmat oppivat, että ei kannata miettiä - varmempaa on selailla taulukkokirjaa. Vieläkin suurempana vahinkona pidän kuitenkin sitä, että uskoakseni monille opiskelijoille jää koulussa hyvin negatiivinen ja virheellinen käsitys matematiikasta tieteenä sekä tieteestä ylipäänsä. Ajatellaan, että tieteelliset totuudet ovat sopimuksenvaraisia asioita, jotka joku tärkeä ihminen on jossain päättänyt eikä niillä ole mitään syvällistä eroa nk. rajatietoon tai uskontoihin nähden.

koulumatematiikan säännöistä

Antti Rasilan väite "Asioiden Oikeasta Järjestyksestä" (lyh. AOJ) kaipaisi mielestäni hieman selvennystä.

Voisitko, Antti, kertoa vaikkapa lukion pitkästä matematiikasta pari konkreettista esimerkkiä, joissa mainitsemasi ilmiö (AOJ) negatiivisine sivuvaikutuksineen tapahtuu?

Lisäksi olisi kiva kuulla konkreettisten esimerkkien kautta, mitä tekisit toisin lukion pitkässä matematiikassa, jotta oppilaat vapautuisivat AOJ:n kahleista - ja osaamistaso täten paranisi kautta linjan.

Koulumatematiikka rakastaa sääntöjä

Koulumatematiikassa rakastetaan erilaisia sääntöjä, joita voidaan sitten harjoitella ja kysyä kokeessa. Tällä tavalla opettajan on helppo jakaa oppilaat huonoihin ja hyviin; palkita tunnollisesti harjoittelevat ja rangaista harjoitukset laiminlyöviä. Jokainen lopulta oppii säännön, jos harjoittelee tarpeeksi eivätkä lahjakkaat saa mitään "epäreilua" etua. Näin säännöstä tulee osa Asioiden Oikeaa Järjestystä eikä säännön käytännön sovelluksilla ole enää mitään merkitystä.