Suomi Palaute
intmath.org > Henkilökohtaiset sivut >
[intmath.org]

Kaksi matematiikkaa

Antti Rasila -- 21.03.2010 16:29

Tämä kirjoitus lähti liikkeellä eräänlaisena kommenttina Simo Kivelän kirjoitukseen, joka löytyy täältä. Kommentistani kuitenkin tuli varsin laaja ja itsenäinen, vaikka se sivuaakin samaa aihepiiriä.

Vuosia sitten radiotoimittaja kysyi koululaiselta mielipidettä matematiikasta. Koululainen vastasi, että matematiikka on "hyödyllistä mutta tylsää". Tämä näkemys lienee ei-matemaatikkojen keskuudessa tavallinen. Toisaalta monien akateemisten matemaatikkojen näkemykset tiivistyvät erään tunnetun suomalaisen professorin kahvipöytäkeskustelussa lausumaan toteamukseen: "Ei ole olemassa hyödyllistä matematiikkaa – ainoastaan mielenkiintoista matematiikkaa."

Tarkoitukseni ei ole tässä kirjoituksessa sinänsä jäädä syvällisemmin pohdiskelemaan sovellusten merkitystä matematiikan tutkimuksen tai opetuksen kannalta. Oma mielipiteeni on, että myös sovellukset ovat tärkeitä, vaikka ne eivät ole ainoa eivätkä välttämättä edes tärkein syy matematiikan olemassaololle. Tärkeämpänä pidän matematiikan roolia informaation perusrakenteiden selittäjänä, jonka pohdiskelu on itsessään älyllisesti kehittävää. En tarkoita tällä pulmatehtävien ratkaisemista, johon en ole itse koskaan tuntenut mielenkiintoa.

Oma kokemukseni koulumatematiikasta ja erityisesti lukiomatematiikasta on Simon kirjoituksessaan kuvailemaa tylsää, mekaanista kaavojen pyörittelyä. Vaikutelmakseni jäi, että opettajien keskeisenä pyrkimyksenä oli oppilaiden oman kiinnostuksen ja ajatusten mitätöiminen. Eikä vika ollut ainoastaan opettajissa, myös jotkut oppilaat olivat vahvasti omaksuneet ajatuksen, ettei arvokasta aikaa oppitunnilla tule kuluttaa mihinkään, josta ei ole tiedossa välitöntä palkkiota ylioppilaskokeessa. Minun osaltani tämä tappoi motivaation perusteellisesti, enkä olisi abiturienttina mitenkään voinut uskoa päätyväni joskus matemaatikoksi.

Yliopistossa kokemani tilanne oli koulumaailman täydellinen vastakohta. Vaikka kävin monien muidenkin aineiden kursseilla, matematiikka vaikutti minusta erityisen kiinnostavalta. Osansa tässä oli matemaatikoilla, jotka joiden omistautuminen tieteenalalleen teki minuun lähtemättömän vaikutuksen. Luennoitsijat ja assistentit vaikuttivat vilpittömän innostuneilta asiastaan, eivätkä he vältelleet vaikeimpiakaan kysymyksiä. Opiskelijoiden esittämiin ajatuksiin suhtauduttiin vakavasti, ja niihin osattiin usein esittää tyhjentävä vastaus.

Tarkoitukseni tässä kirjoituksessa ei kuitenkaan ole suitsuttaa yliopisto-opetuksen (tai valittaa kouluopetuksen) tasoa. Olen tietoinen siitä, että monilla on asiasta päinvastainen kokemus, ja lukiopettajatkaan eivät ole kaikki samanlaisia. Tämä kuitenkin on minun kokemukseni asiasta, eivätkä sitä muuta toiseksi kenenkään muun kokemukset. Tämän kirjoituksen varsinainen tarkoitus on pohtia mitä konkreettisia eroja kouluopetuksessa ja yliopisto-opetuksessa on sekä sitä, miten kyseiset eroavaisuudet ovat syntyneet.

Ensimmäinen silmiinpistävä ero on yliopistoväen ja kouluopettajien ammatti-identiteetissä, joka näkyy selvästi jo alalle valikoituvassa opiskelija-aineksessa. Yliopisto-opettajat mieltävät itsensä ensisijaisesti matemaatikoiksi, eikä arvovaltaisen Wall Street Journalin viimeaikaisesta suitsutuksesta huolimatta alan julkisuuskuva ole erityisen houkutteleva. Kouluopetukseen yhdistettyä sanaa opettaja vieroksutaan: "yliopistossa ei ole opettajia, ainoastaan luennoitsijoita" on ensimmäisenä syksynä yliopistossa oppimiani asioita. Matemaatikoiksi hakeutuu usein ihmisiä, joilla romanttinen kuva tieteen harjoittamisesta yhdistyy ulkoista menestystä tavoittelevien "audi-ihmisten" halveksuntaan. Tiedeyhteisö nähdään turvapaikkana yhteisöllisistä paineista, vapauden saarekkeena jossa luova nerous voi toteuttaa itseään markkinavoimien puuttumatta. Vain hyvin harvoin opintojaan aloittavalle opiskelijalle on selvää mitä matemaatikko tekee työkseen tai mistä töitä voisi valmistumisen jälkeen hakea. Usein opiskelu on itsessään tärkeämpää kuin sen muodollisena tavoitteena oleva tutkinto.

Kouluopettajalle opettajan identiteetti on yleensä ensisijainen, opetettavalla aineella on vähemmän merkitystä. Opettajaa ei enää mielletä samaan tapaan auktoriteetiksi ja yhteisön arvovaltaiseksi jäseneksi kuin 50 vuotta sitten, mutta ala on kuitenkin arvostettu ja kunniallinen. Opettajan työhön yhdistetään suhteellisen hyvä palkka, erinomaiset luontaisedut ja työllistymismahdollisuudet sekä turvallisuus kehityksen ja suhdannevaihtelujen pyörteissä. Heikkojen urakehitysmahdollisuuksien vuoksi ala ei houkuttele erittäin kunnianhimoisia tai kehityksen eturintamaan haluavia ihmisiä, pikemminkin konservatiiveja ja varmanpäälle pelaajia.

On selvää, että konservatiivisen koulumaailman ja luokkahuoneessa mahdollisesti istuvien tulevaisuuden renessanssinerojen, kansanjohtajien ja menestyvien liikemiesten – riskinottajien – välillä syntyy konflikteja. Tämä ei tietenkään tarkoita, että jokainen häirikkö olisi nero, mutta liittyy kuitenkin läheisesti kysymykseen lahjakkaiden lasten opetuksesta, jota aion käsitellä seuraavassa kirjoituksessani. Koulumaailman haluttomuutta muutokseen selittää myös se takaisinkytkentä, että opettajan työ on lähes ainoa ammatti, josta alalle hakeutuvilla on aina omakohtaista kokemusta. Opettajiksi hakeutuvat juuri ne, joilla on omista opettajistaan myönteisiä kokemuksia ja jotka kokevat koulumaailman omakseen sellaisena kuin se on. Ne joiden kokemukset ovat kielteisiä päätyvät yleensä tekemään jotain muuta. Tämän prosessin seurauksena ei ole yllättävää, että vain harvoilla on kiinnostusta kouluopetuksen uudistamiseen.

Lukijalle on ehkä herännyt tässä vaiheessa kysymys, miten tämä kaikki liittyy kouluopetuksessa ja erityisesti matematiikan opetuksessa koettuihin ongelmiin. Toistaiseksi olen hahmotellut syitä siihen, miksi kouluopetus ei tuottaa "lahjakkaille lapsille" turhauttavaa lyhytnäköistä optimointia ylioppilaskirjoituksissa menestymisen suhteen. Valitettavasti Suomessa on tapana sivuuttaa "lahjakkaiden" esittämä kritiikki vedoten siihen uskonkappaleeksi nousseeseen tasa-arvon väärinymmärrykseen, jonka mukaan muutamasta muutenkin etuoikeutetusta oppilaasta tarvitse välittää, jos kuitenkin "tavallinen oppilas" saa hyvää opetusta. Aion paneutua tähän tarkemmin myöhemmässä kirjoituksessani, joten en analysoi asiaa tässä enempää.

Tarkoitukseni on seuraavaksi perustella, miksi nimenomaan kehityksen ja kriittisen itsetarkastelun puute on mielestäni tärkein syy koulumatematiikan tämänhetkisiin ongelmiin. Yleinen harhaluulo on, että jos asioille ei tehdä mitään, niin ne säilyvät enemmän tai vähemmän ennallaan. Valitettavasti usein on tarpeen juosta pysyäkseen paikallaan, eikä kouluopetus ole tässä poikkeus. Sivuuttaen filosofinen pohdiskelu antiikin oppineiden mahdollisista motivaatioista lienee selvää, että oppiaineena matematiikka on saanut oikeutuksensa oletetusta hyödyllisyydestä. Monissa maissa matematiikan opetuksessa heijastuu edelleen klassisen sivistyksen ihannointi. Suomessa motivaatio on jo pitkään ollut hyvin käytännöllinen. Siksi opetuksessa korostuvat mekaaniset laskutehtävät, joiden mallit on haettu talouden ja tekniikan sovelluksista. Klassisen geometrian ja deduktiivisten todistusten tapaisille abstrakteille pohdiskeluille ei juuri jää tilaa oppikirjoissa – ja sekin vähä jätetään usein käytännössä käsittelemättä. Tätä perustellaan hyödyllisyydellä: toki oppilaalle on käytännössä ”hyödyllisempää” esimerkiksi osata laskea taloudenpidossa tarvittavia prosenttilaskuja kuin tietää Pythagoraan lauseen todistus.

Joskus kauan sitten tämä on mahdollisesti ollut hyväksyttävä kompromissi. Mekaaninen harjoittelu ja asioiden ymmärtäminen on jossain määrin kulkenut käsi kädessä niin kauan kuin matematiikkaa – myös koulumatematiikkaa – tehtiin pääasiassa kynällä ja paperilla. Tilanne on kuitenkin jo pitkään ollut se, että mekaaninen harjoitteleminen tapahtuu taskulaskinta ja taulukkokirjaa käyttäen. Tästä on seurannut opetuksen älyllinen köyhtyminen. On ymmärrettävää, että opettajat ovat antaneet tämän tapahtua. Oppilaita on vaikea motivoida tekemään vaikeita laskuja työläästi paperilla, kun tuloksen saa helposti laskimesta. Samalla on kuitenkin unohdettu, että matematiikan tekemisessä usein on tärkeämpää itse prosessi kuin saatu lopputulos. Tavallaan matematiikka on jäänyt oman menestyksensä uhriksi. Matemaatikot ovat pitkään perustelleet merkitystään kauppalaskujen hyödyllisyydellä, ja kaikki ovat niin vakuuttuneita tästä argumentista, että tällaisten tehtävien suorittaminen tehokkaasti laskimella on muodostunut opetuksen itsetarkoitukseksi – matematiikan kustannuksella.

Aikaisemmin käsittelemäni koulumaailman muutosvastarinta on kuitenkin ongelman varsinainen ydin. Taskulaskinten myötä aikaisemmin kouluopetuksen keskiössä ollut mekaaninen laskuharjoittelu on muuttunut sisällöllisesti tyhjäksi, minkä olisi pitänyt johtaa vastaavasti opetuksen sisällön ja tavoitteiden muuttumiseen. Perinteisesti teoreettisia ajatuksia on opittu laskemisen lomassa, mutta laskujen tekemiseen tarvittava ajatteluprosessi on köyhtynyt merkittävästi. Koska oppilaiden matemaattinen ajattelu ei pelkkää laskinta naputtamalla kehity, uusien asioiden omaksuminen vaikeutuu ja syntyy painetta laskea tasoa entisestään. Etevämmät oppilaat turhautuvat, kieltäytyvät tekemästä tylsiä tehtäviä ja toimivat huonona esimerkkinä muille. Lopputulos ei oikeastaan enää palvele ketään, paitsi ehkä taskulaskinten valmistajia. Lisäksi syntyy vaikutelma tieteestä, jonka sisältö on tehtävien mekaaninen ratkaiseminen ja peukalosääntöjen ulkoa opetteleminen. Tällä negatiivisella mielikuvalla on kauaskantoisia seurauksia.

Ratkaisuna ongelmaan on, että matematiikan opetuksen sisällöt ja tavoitteet tulisi arvioida kokonaisvaltaisesti uudelleen. On tunnustettava, että monimutkaisten kynä ja paperi -laskujen tekeminen ei ole enää nykypäivän maailmassa kaikille tarpeellinen taito. Toisaalta ihmiset joutuvat jatkuvasti täysin arkipäiväisissä kysymyksissä päätöksentekotilanteisiin, joissa tarvitaan hyvin monimutkaisten, perussisällöltään matemaattisten käsitteiden hallintaa. Esimeriksi radiossa pyörivän mainoksen mukaan rahastosijoittaminen edellyttää tietoa volatiliteetin merkityksestä. Valitettavasti näyttää siltä, että yli puolet 18–19-vuotiaista ei ymmärrä edes pankkitalletuksen korkoa, osakesijoittamisen maailmasta puhumattakaan.

Tietenkin tilanteeseen voidaan saada lyhytaikaista apua tuomalla näitä asioita kouluopetukseen, mutta kahdenkymmenen vuoden kuluttua markkinoilla lienee aivan uusia, entistä vaikeammin ymmärrettäviä sijoituskohteita. Pitkän aikavälin ratkaisu ongelmaan voi olla vain siinä, että hyväksytään tosiasiat: tämän päivän maailmassa tarvitaan alati vaikeampien abstraktien asioiden ymmärtämistä. Matematiikan voima on siinä, että se käsittelee esimerkkien sijaan yleisiä periaatteita. Siksi se on oppiaine, johon tällaiset asiat luonnollisimmin kuuluvat. Aivan aluksi teoria tulee tuoda takaisin matematiikan opetukseen. Voi olla, että teoreettisen kysymysten pohtiminen on liian haastavaa tai vaikeasti motivoitavaa osalle oppilaita. Tämä ei kuitenkaan ole riittävä syy olla opettamatta näitä asioita niille oppilaille, jotka sellaisia kykenevät oppimaan. Samalla pitäisi miettiä, onko ajatus kaikille yhtäläisestä opetuksesta ylipäänsä realistinen ja mitkä ovat sen vaihtoehdot.

Jatkuu täällä.
Muokattu 21.03.2010 16:51
Kommentit (0)

Mikä on harjoitustehtävän oikea ratkaisu?

Antti Rasila -- 29.09.2009 20:24

Kuten monet lukijat ehkä tietävät, TKK:lla on parin viimeksi kuluneen vuoden aikana laadittu automaattisesti tarkastettavia harjoitustehtäviä useimmille matematiikan peruskursseille. Tehtävien automaattinen tarkastaminen mahdollistaa monia sellaisia asioita, joita perinteisissä harjoituksissa ei voi yleensä toteuttaa, mutta tällaisten tehtävien kehittämisessä on myös monia uusia haasteita. Nämä liittyvät etenkin siihen, että kone ei käytä harkintaa. Se osaa vain noudattaa sääntöä. Tämä nostaa pinnalle sellaisiakin kysymyksiä, jotka esiintyvät myös perinteisten tehtävien tapauksessa nousematta kuitenkaan yleensä esille opetusta koskevassa keskustelussa. Yksi tällainen kysymys tuli ajankohtaiseksi seuraavan laskuharjoitustehtävän yhteydessä.

Tehtävä. Pakkauksessa 400 tuotetta, joista 150 on viallisia. Poimitaan umpimähkään 4 tuotetta tarkastettavaksi. Millä todennäköisyydellä saadaan täsmälleen yksi viallinen tuote?

Tehtävän ratkaisemiseksi opiskelijan on huomattava, että jokaisen poimimisen jälkeen tuotteita on jäljellä yksi vähemmän. Tilannetta voidaan mallintaa hypergeometrisella jakaumalla, mutta tehtävä ratkeaa ilmankin. Todennäköisyydelle saadaan likiarvo: \[ 4\cdot \frac{150}{400}\cdot \frac{250}{399}\cdot \frac{249}{398}\cdot \frac{248}{397}\approx 0,3673125956. \] Tehtävän luonteesta johtuen on ilmeisestikin ratkaisua mielekästä kysyä opiskelijalta nimenomaan likiarvona. Tästä kuitenkin seuraa, että osa opiskelijoista kirjoittaa tehtävän välivaiheet erikseen paperille ja tekee niiden aikana pyöristyksiä mikä vaikuttaa lopputulokseen. Koska järjestelmän ei saisi luokitella oikeita vastauksia vääriksi, voidaan tehtävän arvostelemiseksi siis hyväksyä ratkaisut esimerkiksi välillä $0,37\pm 0,01$. Pienillä virheillä ei liene väliä. Vai onko sittenkin?

Tyypillinen opiskelijan kyseisessä tehtävätyypissä tekemä virhe on sotkea tehtävän tilanne tapaukseen, jossa tuote laitetaan takaisin jokaisen poiminnan jälkeen (ts. käytetään binomijakaumaa hypergeometrisen jakauman sijasta). Tällöin tarvittavasta laskusta tulee: \[ 4\cdot \frac{150}{400}\Big(\frac{250}{400}\Big)^3=\frac{4\cdot 3\cdot 5^3}{8^4} = \frac{375}{1024}\approx 0,3662109375. \] Harjoitustehtävän kannalta tyypillinen virheellinen ratkaisu eroaa oikeasta vasta kolmannen desimaalin osalta. Näyttäisi siis siltä, että hyväksyttävää vastausta varten on tarpeen vaatia ainakin kolme oikeaa desimaalia.

Kysymys tehtävän oikeasta arvostelusta ei kuitenkaan ole näin yksinkertainen. Siihen liittyy useita erillisiä ongelmia:

  1. Mikä on tehtävän oikea ratkaisu matemaattisen ratkaisuprosessin kannalta?
  2. Miten tehtävän ratkaissutta opiskelijaa tulisi arvostella?
  3. Millainen ratkaisu tehtävään on ylipäänsä järkevä?

Jos katsotaan asiaa suppeasti näkökohdan 1) kannalta, luonnollisesti tehtävään on yksi tai joskus useampia oikeita ratkaisuja ja muut tulee hylätä. Jos kuitenkin otetaan huomioon näkökohdat 2) ja 3), niin asiasta tulee paljon monimutkaisempi.

Kysymyksen 2) kannalta oleellista on, että arvostelussa tapahtuva "oikeusmurha" on pahempi asia kuin se, että opiskelija saa liikaa pisteitä. Toisaalta voidaan ajatella, että väärän vastauksen hyväksyminen johtaa opiskelijaa harhaan, mikä johtaa vääränlaiseen oppimiseen. Jos ihminen olisi kone, tämä olisikin totta, mutta käytännössä näin ei ole asian laita.

Toisin kuin koneen tapauksessa ihmisen oppimisen kannalta tärkeää on oppimismotivaation säilyttäminen. Liian ankara arvostelu turhauttaa opiskelijan, eikä hän sen jälkeen enää yritä ratkaista tehtäviä. Oppiminen loppuu tähän. Heikko opiskelija motivoituu onnistumisesta ja saa - ehkä katteettoman - uskon omiin kykyihinsä. Tästä (ainakin yleensä) seuraa, että hän jatkaa ratkaisemista seuraavaan tehtävään. Harjoittelu puolestaan yleensä johtaa oppimiseen. Lopulta taidot kehittyvät ja opiskelija oppii tekemään tehtävän oikein. Toki on myös tärkeää, että ratkaisuprosessissa olevat ajatusvirheet lopulta huomataan. Mutta jos virhe pääsee läpi kerran tai kaksi, niin oppimisen kannalta sillä ei ole todellista merkitystä.

Myös näkökohta 3) on tässä tehtävässä mielenkiintoinen. Jos matemaatikolta joku kysyisi käytännön tilanteessa vastaavan kysymyksen annetuilla numeroarvoilla, niin hän luultavasti ratkaisisi tehtävän "väärällä" tavalla! Miksi? Koska oikea tapa johtaa laskuun, josta ei ilman laskinta ja paperia selviä. "Väärä" tapa johtaa lähes päässälaskuun. Numeroista voi nähdä heti, että valitulla tavalla ei ole lopputuloksen kannalta juuri mitään merkitystä.

Matematiikan sovellukset (laajasti ymmärrettynä) ovat täynnä laskusääntöjä, joiden virhe on paljon suurempi. Esimerkiksi tykistössä lasketaan tykin ammusten lentoratoihin liittyvyviä likiarvoja kaavalla tykkimiehen kolmiosta, joka perustuu peukalosääntöön "yksi piiru on metri/kilometri". Selvästikin käytetty arvio on varsin karkea, mutta käyttötarkoitukseensa riittävä ja helposti mieleen painettava. Pitää siis valita pienempi paha: karkeaan arvioon liittyvät virheet tai monimutkainen sääntö joka muistetaan ja jota käytetään väärin.

Koska alkuperäinen ongelma liittyi insinööriopiskelijoille tarkoitettuun matematiikan kurssiin, pitäisi opetettavan ratkaisuprosessin luonnollisesti myös palvella insinöörikoulutuksen tarpeita. Hieman provokatiivisesti voidaankin kysyä kumpi seuraavista on "parempi" insinööri:

  1. sellainen, jolla on harkintakykyä ja itsevarmuutta tehdä matemaattisia kaavoja käyttessään laskutoimituksia helpottavia harmittomia yksinkertaistuksia, vai
  2. pedanttinen pilkunviilaaja joka pitää tiukasti kiinni jokaisesta epsilonista kunnes kukaan ei enää pysy kärryillä hänen laskelmissaan?

Mielestäni on selvää, että opiskelijoita tulisi rohkaista ensimmäisen vaihtoehdon suuntaan. Tavallaan siis tehtävän "väärä" ratkaisu on parempi kuin oikea.

Alkuperäinen kysymys ei kuitenkaan ratkea vielä tähän. Ratkaisuun voi nimittäin päättyä kahdella tavalla. Siksi ettei tiedä mikä on oikea ratkaisu tai tietämällä oikean ratkaisun ja päättelemällä ettei lopputulos juuri helpommin laskettavasta ratkaisusta. Jälkimmäinen tapaus osoittaa luovuutta, näkemystä ja itsevarmuutta, ensimmäinen pelkkää tietämättömyyttä. Kyseisen tehtävän tapauksessa käytännön kannalta ongelma on numeroissa. Jos viallisia tuotteita olisi esim 10 ja tuotteita yhteensä 20, "oikea" ja "väärä" ratkaisu eroaisivat toistaan merkitsevästi. Toisaalta opiskelijoille ja erityisesti insinööriopiskelijoille pitäisi myös opettaa matemaattista ajattelua, joka parhaimmillaan on paljon hyödyllisempää kuin mekaaninen laskutehtävien ratkaiseminen. Yksinkertaistuksien tekeminen on yksi tällainen taito, joka ei valitettavasti juuri nouse esille nykymuotoisessa opetuksessa.

Jatkuu täällä.
Muokattu 29.09.2009 21:29
Kommentit (4)

Interaktiivista geometriaa Geogebralla

Antti Rasila -- 07.04.2009 21:38

Matemaattisten ohjelmistojen kanssa tekemisissä olleet tuntevat käsitteen dynaaminen geometria. Sinänsä dynaamisen geometrian ohjelmistoja on ollut olemassa jo pitkään, ja niillä on oma vakiintunut käyttäjäkuntansa kouluopetuksessa. Kovin suosituiksi ne eivät kuitenkaan ole tulleet, mihin on monia syitä. Viime aikoina tässä yhteydessä on toistuvasti noussut esille suhteellisen uusi tulokas Geogebra, joka saattaa hyvinkin muuttaa tilanteen pysyvästi. Itseasiassa siitä näyttäisi nopeasti olevan tulossa eräänlainen matematiikan opetuksen teollisuusstandardi.

Syitä Geogebran menestykseen on useita. Ensinnäkin, kyseessä on vapaa avoimen lähdekoodin ohjelmisto, joten siihen ei liity lisenssikuluja. Tämä myös tekee aloittamisen helpoksi, koska ohjelmiston voi ladata verkosta ja ottaa käyttöön heti. Toiseksi, Geogebra on toteutettu Javalla, ja se toimii sekä normaalina työasemasovelluksena että verkkoselaimella ajattavana Java-sovelmana (applet). Tästä on opetuskäytössä suurta etua, koska oppilaiden ei tarvitse ohjelmaa käyttääkseen asentaa koneelle yleensä jo valmiiksi löytyvää Java-tukea lukuunottamatta uusia ohjelmia. Geogebraa voi myös käyttää käyttöjärjestelmästä riippumatta. Sillä on myös laaja ja aktiivinen kehittöjäyhteisö.

Nimi Geogebra on johdettu sanoista geometria ja algebra. Tämä näkyy siinä, että Geogebralla voi tehdä monia asioita, joihin usein käytetään symbolisen laskennan (computer algebra) ohjelmistoja. Se soveltuu esimerkiksi erilaisten funktioiden kuvaajien piirtämiseen sekä differentiaali- ja integraalilaskennan peruskäsitteiden, kuten Riemannin summat ja erotusosamäärä, havainnollistamiseen. Aikaisemmin kokeilemieni dynaamisen geometrian ohjelmistojen sovellusalue on ollut rajoittunut lähinnä klassiseen koulugeometriaan. Geogebra näyttäisi venyvän myös melko edistyneisiin yliopistomatematiikassa esiintyviin sovelluksiin. Varsinaista matemaattista ohjelmointia edellyttäviä tehtäviä sillä ei kuitenkaan voi ainakaan toistaiseksi tehdä. Olen myös nähnyt toimivan demon Geogebran kehitteillä olevasta kolmiulotteisesta versiosta.

Alla demo, jossa on toteutettu Geogebran avulla interaktiivinen Descartesin lehti. Descartesin lehti on käyrä, joka määritellään yhtälön \[ x^3+y^3-3axy=0 \] ratkaisuna. Asymptoottisuora saadaan yhtälöstä \[ x+y+a =0. \] Tämä käyrä on siinäkin mielessä sovelias Geogebran ominaisuuksien demonstroimiseen, että juuri Descartes käsitteli ensimmäisenä geometriaa algebran avulla teoksessaan La Géométrie (1637). Historiallisesti tämä johti analyyttisen geometrian syntyyn ja teosta voidaan pitää myös differentiaali- ja integraalilaskennan lähtölaukauksena.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

Linkkejä

Jatkuu täällä.
Muokattu 07.04.2009 22:08
Kommentit (0)

Esityksiä ITK-päivillä

Antti Rasila -- 25.02.2009 12:09

Perinteikäs tieto- ja viestintätekniikan opetuskäytön konferenssi Interaktiivinen Tekniikka Koulutuksessa (ITK) järjestetään jälleen 22.-24.4.2009 Hämeenlinnassa. Tulen pitämään TKK:n toimenpiteitä matematiikan perusopetuksen kehittämiseksi, mm. tehtävien automaattista tarkastamista ja perustaitotestausta, käsitetteleviä esityksiä päivien aikana workshopissa Verkkotehtävät matematiikan oppimisessa sekä Tutkijatapaamisessa keskiviikkona 22.4. Luvassa on mm. katsaus oppimistuloksiin TKK:n kursseilla, joilla on käytetty harjoitustehtävien automaattista tarkastamista. Esityksistä jälkimmäinen liittyy yhteistyöhön Tampereen teknillisen yliopiston kanssa.

Jatkuu täällä.
Muokattu 25.02.2009 12:20
Kommentit (0)

Automaattisesti tarkastettavat tehtävät

Antti Rasila -- 28.11.2008 13:59

Teknillisen korkeakoulun matematiikan peruskursseilla on kokeiltu syksystä 2006 lähtien laskuharjoitustehtävien automaattista tarkastamista. Olemme käyttäneet kokeilussa TKK:ssa jatkokehitettyä versiota avoimen lähdekoodin järjestelmästä STACK. Tehtävien tarkastaminen tapahtuu symbolisen laskennan ohjelmiston (Maxima) avulla. Opiskelijat kirjautuvat järjestelmään kotoaan tai mikroluokasta verkkoselaimen avulla. Järjestelmä pystyy tunnistamaan ratkaisut (lähes) riippumatta muodosta, jossa ne on syötetty.

Kokemukset tehtävien verkkopalautuksesta TKK:lla ovat pääasiassa olleet hyviä. Järjestelmän käyttäminen vähentää vaivaa, mutta myös näyttäisi parantavan oppimistuloksia etenkin rutiinitehtävien osalta. Näyttäisi myös siltä, että osallistumiskynnys verkossa tapahtuvaan suhteellisen anonyymyyn harjoitteluun voi joissain tapauksissa olla matalampi kuin esimerkiksi vaadittaessa opiskelijoita esittämään ratkaisunsa taululla. Verkkoharjoitukset voidaan satunnaistaa, jolloin jokainen opiskelija saa samankaltaisen, mutta hieman erilaisen tehtävän, mikä vähentää ratkaisujen kopiointia.

Syksyllä 2008 olemme myös käynnistäneet automaattiseen tarkastamiseen liittyvää pilottiyhteistyötä muutamien kiinnostuneiden lukioiden kanssa. MAOL:in syyspäivillä ja TKK:n järjestämillä LUMA-tiedepäivillä pitämistäni työpajoista saamani palautteen perusteella kiinnostusta saattaa olla enemmänkin, ja kokeilua on tarkoitus laajentaa. Tällä hetkellä saatavilla on noin 100 pääsosin Tampereen teknillisen yliopiston käyttämään kertausmateriaaliin pohjaavaa lukiotasoista tehtävää. Tehtäviin kuuluu myös automaattisesti generoitu malliratkaisu.

Jatkuu täällä.
Muokattu 28.11.2008 14:10
Kommentit (2)